OCTUBRE

SEMANA 1 (29 SEP AL 03 OCT) 
Esta fue la primera clase que hubo materia, en la cual abarcamos la definición de los números complejos, la diferencia entre si un numero entero es real y viceversa, luego observamos la forma algebraica donde aprendimos a encontrar la equivalencia de cualquier exponente que se eleve el numero imaginario a los cuatro primeros exponentes, también vimos la forma rectangular, su ubicación en el plano, el conjugado de z, 
El modulo de z en este subtema encontramos el argumento y el r, otro de los subtemas fue la forma polar del complejo, el inverso multiplicativo, el cero complejo, la relación de igualdad de complejos, las propiedades de los complejos suma y multiplicación,
Un tema interesante fue ver la forma trigonométrica, en la cual aprendimos las operaciones de multiplicación, división, plenipotencia, y adicionador.  
SEMANA 2 (06 OCT- 10 OCT)
NUMEROS IMAGINARIOS

Un numero imaginario puede sescribirse como el producto real por la unidad imaginaria i, en donde la letra i significa raiz cuadrada de -1 .
Un numero imaginario es un numero complejo cuya parte real es igual a cero, por ejemplo 5i en pocas palabras es un numero de la forma:


Forma Algebraica:
z=x+y\,i\;:\quad x=0



Re(z)=parte real;
Im(z)=parte imaginaria
Operaciones con Imaginarios
SUMA
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\,
RESTA

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i


MULTIPLICACION 

El resultado es otro Complejo que se obtiene multiplicando cada una de las partes de uno de los complejos por las otras partes del otro complejo recordando que i2 = -1

Ejemplo: (4/5 - 3i) . (-3/7 + 5i) = 4/5 . 5i + 4/5 . (-3/7) - 3i . (-3/7) - 3i . 5i
= 4i - 12/35+ 9/7i - 15i2
= -12/35 + 37/7 i + 15
= 513/35 + 37/7i
DIVISION

Para dividir números complejos en forma binómica se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador y se realizan las operaciones correspondientes.



COMPLEJOS OPUESTOS:
Son aquel par de Complejos que difieren en el signo de la parte real e imaginaria. Su ubicación en el diagrama resultará simétrica con respecto al centro del mismo.

Ejemplo: -2 + 5i
            2 - 5i
COMPLEJOS CONJUGADOS:
Son aquel par de Complejos que solo difieren en el signo de las partes imaginarias. Su ubicación es simetrico con respecto al eje real.

Ejemplo: -2 + 5i
                -2 - 5i 

FORMA TRIGONOMETRICA

Módulo de un número complejo

El módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el origen de coordenadas y su afijo. Se designa por |z|.

i


Gráfica

Expresión de un número complejo en forma polar

z = rα
|z| = r flecha(r es el módulo)
arg(z) = α flecha (α es el argumento)
Z=r (cos (x)+isen(x))
Z=rCis(x)

Ejemplo:
Para pasar de la forma polar a la binómica, tenemos que pasar en primer lugar a la forma trigonometrica 
Complejo
PRODUCTO



DIVISION
División:
\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} e^{\mathrm{i}(\phi - \psi)}

POTENCIACION
La potencia enésima de número complejo es otro número complejo tal que:Su módulo es la potencia n-ésima del módulo.
Su argumento es n veces el argumento dado.

La fórmula de Moivre es la potencia de un número complejo escrita en forma trigonométrica.
RADICACION

Ejemplos:


Dados los números complejos:  y, vamos a exprésarlos en forma polar para luego hacer el producto y el cociente de ambos. Finalmente expresaremos el resultado de nuevo en forma binómica.








SEMANA 3 (13 OCT- 17OCT)


LIMITES CONTINUIDAD Y DISCONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA




Se dice que una función tiene un límite A cuando $ z$ tiende a $ a$
$\displaystyle \lim_{z\rightarrow a} f(z)= A$

si para todo $ \epsilon < 0$ exite un $ \delta < 0$ tal que
$\displaystyle \vert f(z)-A\vert < \epsilon$

siempre que
$\displaystyle 0 < \vert z-a\vert < \delta$



Como vemos las condiciones mencionadas arriba para la existencia del límite se pueden interpretar de la siguiente manera: dado un disco $ D_\epsilon$ de radio $ \epsilon$ y centro en $ A$, existen un disco $ D_{\delta}$ con centro en $ a$ y radio $ \delta$ tal que para todo $ z$ en $ D_\delta$ existe un $ f(z)$ en $ D_\epsilon$. Puede que en el centro $ a$ no se cumpla ésto.

Hay que tomar en cuenta la definición de número complejo para poder entender los límites de funciones complejas, ya que $ a$y $ A$ son complejos. Las reglas para límites de funciones complejas son los mismos que para variable real.
Cuando aplicamos el límite estamos acercando $ z$ a $ a$ pero podemos acercarlo por muchas direcciones así que se escoge las más cómodas que son por el eje real e imaginario, es decir, un límite horizontal y un vertical. para hacer esto diremos que $ z = x+iy$ y $ a = \alpha + i\beta$ y descompondremos en límite como sigue:
$\displaystyle \lim_{x = \alpha ; y \rightarrow \beta}f(z) $
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \alpha; y = \beta}f(z) $


Si el resultado de estos dos límites es igual entonces
$\displaystyle \lim_{z\rightarrow a}f(z)$

existe, de lo contrario no existe.
FORMA EXPONENCIAL

Una variante de la forma polar se obtiene al tener en cuenta la conocida como fórmula de Euler:

para .
Esto nos permite escribir un número complejo en la forma siguiente, denominada forma exponencial:

Esta nueva forma es especialmente cómoda para expresar productos y cocientes ya que sólo hay que tener en cuenta las propiedades de la función exponencial (para multiplicar se suman exponentes y para dividir se restan). En particular, para potencias con exponentes enteros se tiene .
Esto nos permite dar una nueva expresión para el inverso de un complejo no nulo en la forma .
La fórmula de Euler también permite interpretar las funciones seno y coseno como meras variaciones de la función exponencial:
 
 

CONTINUIDAD DE UNA FUNCION DE VARIABLE COMPLEJA

Para que una función sea continua en $ z_0$ debe estar definida en $ z_0$ y cumplir con que
$\displaystyle \lim_{z\rightarrow z_0} f(z) = f(z_0)$

Si esto no se cumple se dice que la función es discontinua en $ z_0$. Por las reglas de límites se deduce que si dos funciones son continuas su suma y multiplicación es también continua pero su cociente será continuo sólo donde la función en el denominador sea distinta de cero.O Tambien:
1)
Existe f(zo)2)
Existe el lim f(z)
           z--zo
 3)
lim f(z) = f(zo)
z--zo
DISCONTINUIDAD

Evitable: Si existe  lim  f(z) y no existe f(zo)   o   lim f(zo) !=f(zo)
                                z---zo                                  z--zo
Inevitable: No existe lim f(z)
                                    z--zo


SEMANA 4 (20 OCT- 24 OCT)
DERIVADAS

DEFINICION

La derivada de una función compleja se define como


$\displaystyle f'(z) = \lim_{z\rightarrow z_0} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} = \lim_{z_0\rightarrow 0} \frac {\Delta f}{\Delta z}$


y respeta las fórmulas de derivación del cálculo real.
Si una función es derivable en un punto $ z_0$ entonces es continua pero si la función es continua no implica que será derivable.

Una función se dice analitica en un punto $ z_0$ si es continua y derivable en $ z_0$ y en todo $ z$ que pertenezca a alguna vecindad de $ z_0$.

Ejemplo

LOGARITMOS CON NUMEROS COMPLEJOS

Usaremos el hecho de que sabemos evaluar la función exponencial para números complejos e^{a+bi}=e^{a}\cos b+ie^{a}\sin b y proponemos lo siguiente
\ln \left( a+bi\right) =x+yi
a+bi=e^{x+yi}
a+bi=e^{x}\cos y+ie^{x}\sin y
Ésta igualdad de números complejos se cumple si y sólo si se satisface el sistema de ecuaciones asociado
a=e^{x}\cos y
b=e^{x}\sin y
Para resolver este sistema en términos de x,y sumamos los cuadrados de ambas ecuaciones de la siguiente forma
a^{2}+b^{2}=e^{2x}\left( \cos ^{2}y+\sin ^{2}y\right)
\sqrt{a^{2}+b^{2}}=e^{x}
x=\ln \sqrt{a^{2}+b^{2}}
Para hallar el valor de y dividimos la segunda entre la primera como sigue
\frac{b}{a}=\frac{e^{x}\sin y}{e^{x}\cos y}
\frac{b}{a}=\tan y
y=\arctan \left( \frac{b}{a}\right)
De este modo tenemos
\ln \left( a+bi\right) =\ln \sqrt{a^{2}+b^{2}}+i\arctan \left( \frac{b}{a}\right)
Donde a+bi\neq 0+0i.

SEMANA 5 (27 OCT - 31 OCT)

FUNCIÓN ANALÍTICA 

  • Una función f(z) es analítica (u holomorfa) en un abierto A si posee derivada en todo punto de A.
  • Cuando se dice que una función f es analítica en un conjunto S que no es abierto, quedará sobrentendido que f es analítica en algún abierto que contiene a S.
  • Cuando decimos que una función es analítica en un punto z0 , la derivada debe existir en todos los puntos de algún entorno de z0
  • Si una función de la forma: f(z)= u(x,y) + i v(x.y), y si cumplen las ecuaciones de  Cauchy- Riemann entonces la función es analítica y entera


ECUACIONES DE CAUCHY-RIEMANN


Las ecuaciones de Cauchy-Riemann son dos ecuaciones diferenciales parciales que son básicas en el análisis de funciones complejas de variable compleja, debido a que su verificación constituye una condición necesaria  para la derivabilidad de este tipo de funciones.

Sea la funcion:  f (z) = u(x,y) + iv(x,y)

Si la función f(z) es derivable en un punto zo= xo + iyo entonces deben verificarse las condiciones de Cauchy-Riemann:





Función Armónicas

 Sea f : D → R (donde D es un subconjunto abierto de Rn) una función real de n variables, se la llama armónica en D si sobre D tiene derivadas parciales continuas de primer y segundo orden.

Las funciones armónicas son aquellas que verifican las ecuaciones de Laplace.


No hay comentarios.:

Publicar un comentario

Suscribirse a: Entradas (Atom)