MATE AVANZADA: NOVIEMBRE

SEMANA 6 (03 NOV- 06 NOV)

Integración en el Plano Complejo

F

( z ) es una integral indefinida (o primitiva) de una función compleja

f (z)

F^{'} (z)

= f(z) para

z

∈D, un cierto dominio.

$∫$ f ( z ) d z = F ( z )

Propiedades

∫ C ( λ f ( z ) + μg ( z ) ) dz = λ ∫ C f ( z ) dz + μ ∫ C g ( z ) dz .
La trayectoria de integración se puede descomponer:
∫ Cf(z)dz = ∫ C1f(z)dz + ∫ C2f(z)dz con C1 y C2 subdivisiones de C.La trayectoria de integración se puede invertir:
∫ z0znf(z)dz = -∫ znz0f(z)dz.∫ zndz = zn+1 n + 1 + K, si n≠ -1,
∫ ezdz = ez + K,
∫ sin(z)dz = -cos(z) + K,
∫ cos(z)dz = sin(z) + K.

Curvas en el Plano

Para calcular la integral entre dos puntos se puede hacer a través de distintas curvas que unen dichos puntos, por lo que se debe comenzar estudiando la representación paramétrica de una curva.

SEMANA 7 (10 NOV- 14 NOV)

Integral de línea

El concepto de integral definida no es tan fácilmente generalizable. Recordemos que en el caso real la integral definida real

\int_{a}^{b} f (x) d x

se obtiene integrando en un intervalo de números reales

[a, b]

En el plano complejo hay diferentes trayectorias de aproximación entre dos puntos, y el concepto equivalente al de intervalo de integración es el de un arco de curva de trayectoria de integración

C

Figura 19: Tres trayectorias para ir del punto

2

+ 2i al punto

7

+ 5i

La curva de trayectoria de integración

C

a menudo se puede representar con una función de variable real que depende de un parámetro:

C : z(t) = x(t) + iy(t)ambt,a,b ∈ℝ,a <t <b.Se dice que

C

es una curva suave si su derivada

z^{'} (t)

= dz dt = dx dt + idy dt es continua.

Conjunto Simplemente Conexo

D es un conjunto simplemente conexo si y solamente si contiene puntos de D, que en forma práctica no tienen huecos.

Propiedad

Si C es una curva suave a intervalos de z1 a z2 es un dominio simplemente conexo D. Si f(z) es analítica. Si f(z) es analítica en D. entonces:

SEMANA 8 (10 NOV - 14 NOV)

Integrales cerradas

La principal diferencia con las integrales de linea es que la curva suave γ es una curva cerrada.

Propiedades

Teorema de la integral de Cauchy. Si f(z) es una función analítica en D, un dominio simplemente conexo y γ una curva cerrada simple, se cumple:

Si f(z) es una función analítica en D, un dominio simplemente conexo, entonces la integral de f(z) es independiente de la trayectoria.
Teorema de la deformación. Sea f una funcion analitica en un dominio D, excepto en Z0 y sean γ y Ω curvas cerradas simples que encierran a Z0.

Integral de Cauchy. Si f(z) es una función analítica en D, un dominio simplemente conexo y γ una curva cerrada simple que encierre a Z0.
Formula de la integral de Cauchy para derivadas superiores.